贝叶斯相关问题
阳性发病率问题
已知有一种疾病，发病率是0.1%。针对这种疾病的测试非常准确：
- 如果有病，则准确率是99%（即有1%未检出阳性）；
- 如果没有病，则误报率是2%（即有2%误报为阳性）。
现在，如果一个人测试显示阳性，请问他患病的概率是多少？
用H表示患病，E表示测试为阳性，那么，我们要计算在测试为阳性的条件下，一个人患病的概率，就是计算P(H|E)。根据贝叶斯定理，计算如下：
P(H∣E)=P(E)P(E∣H)×P(H)
P(H)表示患病的概率，根据发病率可知，P(H)=0.1%；
P(E|H)表示在患病的情况下，测试为阳性的概率，根据“如果有病，则准确率是99%”可知，P(E|H)=99%；
P(E)表示测试为阳性的概率。这个概率就稍微复杂点，因为它是指对所有人（包含病人和健康人）进行测试，结果阳性的概率。
我们可以把检测人数放大，例如放大到10万人，对10万人进行检测，根据发病率可知：
- 有100人是病人，另外99900是健康人；
- 对100个病人进行测试，有99人显示阳性，另有1人未检出（阴性）；
- 对99900个健康人进行测试，有2%=1998人显示阳性（误报），另有98%=97902人为阴性。
下图显示了检测为阳性的结果的分布：
┌───────┐
│100000 │
└───────┘
│
┌───────┴───────┐
▼ ▼
┌───────┐ ┌───────┐
│ 100 │ │ 99900 │
└───────┘ └───────┘
│ │
┌───┴───┐ ┌───┴───┐
▼ ▼ ▼ ▼
┌─────┐ ┌─────┐ ┌─────┐ ┌─────┐
│ 99 │ │ 1 │ │1998 │ │97902│
└─────┘ └─────┘ └─────┘ └─────┘
│ │
▼ ▼
+ +
所以，对于10万人的样本空间来说，事件E=显示阳性的概率为(99+1998)/100000=2.097%。
带入贝叶斯定理，计算P(H|E)：
P(H∣E)=P(E)P(E∣H)×P(H)=2.097%99%×0.1%=0.020970.99×0.001=0.04721=4.721%
计算结果为患病的概率为4.721%，这个概率远小于99%，且与大多数人的直觉不同，原因在于庞大的健康人群导致的误报数量远多于病人，当出现“检测阳性”的证据时，患病的概率从先验概率0.1%提升到4.721%，还远不足以确诊。
红蓝球问题
有两个装满大量卡片的盒子，其中一个70%是红色，30%是蓝色；另一个30%是红色，70%是蓝色。
现在随机选择了一个盒子并取出了12张卡片，其中有8张是红色，4张是蓝色。
那么，请问这些卡片取自第一个盒子的概率是多少？
股票预测器
你有2个预测器，每个预测器在晚上会显示“涨”或者“跌”，来预测明天股市是涨还是跌。
根据历史统计，每个预测器预测的准确率都是0.7，并且预测器之间的预测结果是独立的。
今天晚上，2个预测器，都显示“涨”。
请问：明天股市涨的概率是多少？
蓝车绿车
一辆出租车在夜晚肇事后逃逸，而这座城市有红色和蓝色两种出租车，该城市红色出租车占85%。现在有以下信息：
一位目击证人辨认出出租车是蓝色的，当晚警察在案发地对证人的证词进行了测试，得出结论：目击者在当时情况下能够辨认出出租车颜色的概率是80%，错误的概率是20%。
那么，各位读者觉得肇事的出租车是蓝色而不是红色的概率是多少呢？
男孩女孩问题
一所学校里面有 60% 的男生，40% 的女生。男生总是穿长裤，女生则一半穿长裤一半穿裙子。有了这些信息之后我们可以容易地计算“随机选取一个学生，他（她）穿长裤的概率和穿裙子的概率是多大”，这个就是前面说的“正向概率”的计算。然而，假设你走在校园中，迎面走来一个穿长裤的学生（很不幸的是你高度近似，你只看得见他（她）穿的是否长裤，而无法确定他（她）的性别），你能够推断出他（她）是男生的概率是多大吗？